А2. Точки A, B, C лежат на окружности с центром в точке O. Дуги AB : AC = 2 : 3, дуги AB < 180°, AC < 180°, ∠BAC = 55°. Чему равен угол AOC? Варианты: 1) 75°; 2) 150°; 3) 110°; 4) 100°.

Вписанный угол \(\angle BAC=55^\circ\) опирается на дугу \(BC\), поэтому \(\overset{\frown}{BC}=110^\circ\).

Пусть \(\overset{\frown}{AB}=2x\), а \(\overset{\frown}{AC}=3x\). Так как обе дуги меньше \(180^\circ\), точка A лежит на большей дуге BC, поэтому \(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=5x\). Тогда \(5x=110^\circ\), откуда \(\overset{\frown}{AC}=3x=66^\circ\).

Центральный угол \(\angle AOC\) равен мере дуги \(AC\): \(\angle AOC=66^\circ\).

Ответ: 66°; среди указанных вариантов такого ответа нет.