A4. Докажите, что функция \(F\) является первообразной для функции \(f(x)\) на промежутке \((-\infty;+\infty)\), если \(F(x)=x^3-4\), \(f(x)=3x^2\).

По определению, \(F\) является первообразной для \(f\), если \(F'(x)=f(x)\) на рассматриваемом промежутке.

Вычислим производную: \(F'(x)=(x^3-4)'=3x^2\).

Получили \(F'(x)=3x^2=f(x)\) для всех действительных \(x\).

Следовательно, \(F(x)=x^3-4\) является первообразной функции \(f(x)=3x^2\) на \((-\infty;+\infty)\).