C6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=6x-x^2\) и \(y=2x\).

Найдём точки пересечения: \(6x-x^2=2x\), откуда \(x(4-x)=0\), поэтому \(x=0\) и \(x=4\). На этом промежутке парабола расположена выше прямой, поскольку разность функций равна \(4x-x^2\geq 0\).

Площадь равна интегралу разности верхней и нижней функций:

\(S=\int_0^4 [(6x-x^2)-2x]dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.\)

Ответ: \(\frac{32}{3}\) квадратной единицы.