A4. Докажите, что функция y = tg 3x является периодической с периодом \( \frac{\pi}{3} \).

Решение:

Периодическая функция \( f(x) \) с периодом \( T \) удовлетворяет условию \( f(x+T) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения.

Для функции \( y = \operatorname{tg} {3x} \) и периода \( T = \frac{\pi}{3} \), проверим условие:

\( y(x + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} \left( 3 \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right) \)

Раскроем скобки:

\( y(x + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} \left( 3x + 3 \cdot \frac{\pi}{3} \right) \)

\( y(x + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} (3x + \pi) \)

Так как тангенс имеет период \( \pi \), то \( \operatorname{tg} (\alpha + \pi) = \operatorname{tg} \alpha \). В нашем случае \( \alpha = 3x \).

Следовательно, \( \operatorname{tg} (3x + \pi) = \operatorname{tg} 3x \).

Таким образом, \( y(x + \frac{\pi}{3}) = y(x) \), что доказывает, что функция \( y = \operatorname{tg} 3x \) является периодической с периодом \( \frac{\pi}{3} \).

Ответ: доказано.