B1. Сравните числа: cos \( \frac{\pi}{9} \) и sin \( \frac{3\pi}{10} \).

Решение:

Чтобы сравнить \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \sin \frac{3\pi}{10} \), приведем их к одному тригонометрическому соотношению. Используем формулу \( \sin \alpha = \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

\( \sin \frac{3\pi}{10} = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10} \right) \)

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} - \frac{3\pi}{10} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \)

Итак, \( \sin \frac{3\pi}{10} = \cos \frac{\pi}{5} \).

Теперь нужно сравнить \( \cos \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{\pi}{5} \).

Угол \( \frac{\pi}{9} \) (что равно \( 20^{\circ} \)) меньше, чем угол \( \frac{\pi}{5} \) (что равно \( 36^{\circ} \)).

Функция \( \cos \alpha \) убывает на промежутке \( [0, \pi] \). Так как \( 0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2} \), то \( \cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{\pi}{5} \).

Следовательно, \( \cos \frac{\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{10} \).

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{10} \).