А7. В треугольнике АБС: АН биссектриса, угол С равен 50°, угол САН равен 20°. Найти угол В. Ответ дайте в градусах

Решение:

В треугольнике АНС:

1. Угол АНС = \( 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ \) (так как АН — биссектриса, угол САН = 20°, тогда угол АСН = 50°, угол АНС = 180 - 90 - 20 = 70).
2. Угол АНС + Угол АНВ = \( 180^\circ \) (развернутый угол).
3. Угол АНВ = \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

В треугольнике АНВ:

1. Угол В = \( 180^\circ - 90^\circ - 110^\circ \) — неверно.

Рассмотрим треугольник АВС.

1. АН — биссектриса, значит, делит угол А пополам.
2. В треугольнике АНС: \( ¹∠{HAN} = 90^\circ - ¹∠{C} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) (в прямоугольном треугольнике АНС, если бы он был прямоугольным).
3. Но АН — биссектриса, а не высота.
4. В треугольнике АНС: \( ¹∠{AHN} = 180^\circ - ¹∠{C} - ¹∠{CAN} = 180^\circ - 50^\circ - 20^\circ = 110^\circ \).
5. Угол \( ¹∠{BAN} = ¹∠{CAN} = 20^\circ \).
6. Угол \( ¹∠{A} = ¹∠{BAN} + ¹∠{CAN} = 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ \).
7. В треугольнике АВС: \( ¹∠{B} = 180^\circ - ¹∠{A} - ¹∠{C} = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ \).

Ответ: 1) 90°