55. $$ABCD$$ - прямоугольник. $$AD = 10, \angle AOB = 120^\circ$$. Найти $$AO - ?$$

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $$AO = BO$$. Треугольник $$AOB$$ - равнобедренный, так как $$AO = BO$$. $$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$$ Рассмотрим треугольник $$AOD$$. $$\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ Так как $$AO = DO$$ (половины диагоналей), то треугольник $$AOD$$ - равнобедренный, а так как $$\angle AOD = 60^\circ$$, то этот треугольник равносторонний, значит $$AO = AD = 10$$. Ответ: $$AO = 10$$