59. $$ABCD$$ - трапеция. $$MN = 20$$ - средняя линия. $$OK - ?$$

Так как $$MN$$ - средняя линия трапеции, то $$MN = (BC + AD) / 2 = 20$$. Окружность вписана в трапецию, поэтому трапеция равнобедренная, а высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности. Средняя линия $$MN$$ проходит через середину высоты, а точка $$O$$ - центр окружности, следовательно, $$OK$$ - радиус вписанной окружности. Если трапеция описана около окружности, то сумма ее боковых сторон равна сумме оснований. $$AB + CD = BC + AD$$ Т.к. трапеция равнобедренная, то $$AB = CD$$, следовательно, $$2AB = BC + AD$$ Так как $$MN = (BC + AD) / 2 = 20$$, то $$BC + AD = 40$$. $$2AB = 40$$ $$AB = 20$$ Чтобы найти радиус, нам нужно знать высоту трапеции. Однако, информации для определения $$OK$$ недостаточно. Если предположить, что трапеция прямоугольная, то $$OK$$ равен половине средней линии, то есть 10. Но это не указано в условии. Пусть $$h$$ - высота трапеции. Тогда $$OK = h/2$$, где $$h$$ - высота трапеции. Ответ: Информации недостаточно, чтобы однозначно определить $$OK$$.