7. ABCD - прямоугольник с периметром, равным 28 см, у которого AC = 10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD.

1. Периметр прямоугольника ABCD равен 28 см. Пусть AB = a и BC = b. Тогда 2(a + b) = 28, следовательно, a + b = 14. 2. Диагональ AC = 10 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: a² + b² = AC² = 10² = 100. 3. Выразим b через a: b = 14 - a. Подставим это в уравнение a² + b² = 100: a² + (14 - a)² = 100. 4. Раскроем скобки и упростим: a² + 196 - 28a + a² = 100. Получаем 2a² - 28a + 96 = 0. Разделим на 2: a² - 14a + 48 = 0. 5. Решим квадратное уравнение a² - 14a + 48 = 0. Его корни: a = 6 и a = 8. Если a = 6, то b = 14 - 6 = 8. Если a = 8, то b = 14 - 8 = 6. Таким образом, стороны прямоугольника 6 см и 8 см. 6. Рассмотрим треугольник ABD, который равен треугольнику ABC. Его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см. Это прямоугольный треугольник (6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²). 7. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, c - гипотенуза. 8. В нашем случае r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2. Ответ: 2 см