9. Какое наименьшее число членов прогрессии 32,5; 37,5; 42,5; ... нужно взять, чтобы их сумма была больше 2160?

1. Определим тип прогрессии. Разность между последовательными членами равна 37,5 - 32,5 = 5, 42,5 - 37,5 = 5. Значит, это арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 32,5 и разностью d = 5. 2. Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sₙ = (n / 2) * (2a₁ + (n - 1)d). 3. Нам нужно найти наименьшее n, при котором Sₙ > 2160. Подставим известные значения: (n / 2) * (2 * 32,5 + (n - 1) * 5) > 2160. 4. Упростим неравенство: (n / 2) * (65 + 5n - 5) > 2160, что равносильно (n / 2) * (60 + 5n) > 2160. 5. Умножим обе части на 2: n * (60 + 5n) > 4320. Раскроем скобки: 5n² + 60n > 4320. 6. Перенесем все в одну сторону: 5n² + 60n - 4320 > 0. Разделим на 5: n² + 12n - 864 > 0. 7. Найдем корни квадратного уравнения n² + 12n - 864 = 0. D = 12² - 4 * 1 * (-864) = 144 + 3456 = 3600. √D = 60. n₁ = (-12 + 60) / 2 = 48 / 2 = 24, n₂ = (-12 - 60) / 2 = -72 / 2 = -36. 8. Так как n должно быть положительным, берем n = 24. Проверим, будет ли S₂₄ > 2160. S₂₄ = (24 / 2) * (2 * 32,5 + (24 - 1) * 5) = 12 * (65 + 23 * 5) = 12 * (65 + 115) = 12 * 180 = 2160. 9. Так как сумма 24 членов равна 2160, нам нужно взять больше 24 членов, чтобы сумма была больше 2160. Следовательно, наименьшее число членов равно 25. Ответ: 25