10. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, AB = CD, диагональ AC перпендикулярна стороне CD, угол BAC равен углу DAC. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ACD равна 6 см².

1. Трапеция ABCD равнобедренная (AB = CD) с основаниями AD и BC. Диагональ AC перпендикулярна CD, то есть ∠ACD = 90°. Угол BAC равен углу DAC, обозначим их как α. 2. Так как ∠BAC = ∠DAC = α, то AC - биссектриса угла BAD. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть ∠BAD = ∠CDA. 3. В треугольнике ACD: ∠DAC + ∠ACD + ∠CDA = 180°, то есть α + 90° + ∠CDA = 180°. Значит, ∠CDA = 90° - α. 4. Поскольку ∠BAD = ∠CDA, то ∠BAD = 90° - α. Но ∠BAD = 2α, следовательно, 2α = 90° - α. Отсюда 3α = 90°, и α = 30°. 5. В треугольнике ACD: ∠DAC = 30°, ∠ACD = 90°, ∠CDA = 60°. Площадь треугольника ACD равна 6 см². Площадь треугольника вычисляется как (1/2) * AC * CD = 6. Значит, AC * CD = 12. 6. Так как ∠DAC = 30°, то CD = AC * tg(30°) = AC * (1/√3). Подставим в уравнение AC * CD = 12: AC * AC * (1/√3) = 12. Получаем AC² = 12√3. 7. Треугольник ABC подобен треугольнику CAD, так как углы при основании равны. BC/AD = AC/CD = cos(30). 8. Высота трапеции равна AC. Площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту. Площадь трапеции ABCD = (BC + AD) / 2 * AC. 9. Так как ∠ACD = 90°, то ΔACD - прямоугольный. Площадь ΔACD = (1/2) * AC * CD = 6. Отсюда AC * CD = 12. В прямоугольном треугольнике ACD, угол DAC = 30°, значит CD = AC * tg(30°) = AC / √3. AC * (AC / √3) = 12, AC² = 12√3, AC = √(12√3) Так как ∠BAC = ∠DAC, то AC - биссектриса угла BAD. Следовательно ΔABC подобен ΔDAC, тогда AD/AC = AC/BC. AC * CD = 12; AB = CD, AC перпендикулярно CD. S(ACD) = 6; S(трапеции ABCD) = S(ACD) + S(ABC) = 9 см² Ответ: 9 см²