Ання, Боря и Вася ходили за грибами. Вернувшись, они сказали следующие фразы: Ання: «Мы с Борей вдвоём набрали 17 грибов»; Боря: «Мы с Васей вдвоём набрали 34 гриба»; Вася: «Мы с Анней вдвоём набрали 15 грибов». Мама сказала им: «Кто-то из вас ошибся». Почему она так решила?

Пусть Ання, Боря и Вася собрали соответственно \(а\), \(б\) и \(в\) грибов. Тогда из их слов следует:

\(а+б=17\), \(б+в=34\), \(в+а=15\).

Сложим все три равенства: \(2(а+б+в)=17+34+15=66\), поэтому всего они набрали \(а+б+в=33\) гриба.

Тогда по первым двум фразам: \(в=33-17=16\), \(а=33-34=-1\), что невозможно. Значит, хотя бы один из детей ошибся.

Ответ: мама решила так, потому что из этих трёх утверждений получается, что Ання собрала \(-1\) гриба, а это невозможно.