На доске изначально написаны три числа: 1, 2 и 4. За один шаг можно выбрать любые два из них, к одному прибавить 1, а к другому прибавить 2 (при этом два старых числа стираются, а на их место записываются два новых). Можно ли в результате нескольких таких операций получить на доске три равных числа?

Рассмотрим сумму трёх чисел. За каждый шаг она увеличивается на \(1+2=3\). Изначально сумма равна \(1+2+4=7\), поэтому после \(k\) шагов сумма будет равна \(7+3k\).

Если на доске получатся три равных числа \(m,m,m\), их сумма будет \(3m\). Поэтому необходимо, чтобы \(7+3k\) делилось на 3. Но \(7+3k\equiv1\pmod 3\), то есть на 3 эта сумма не делится ни при каком \(k\).

Следовательно, получить три равных числа невозможно.

Ответ: нет, невозможно.