Можно ли записать в некоторые таблицы 6×6 числа от 1 до 11 (каждое из этих 11 чисел ровно один раз) так, чтобы сумма чисел в любой строке и сумма чисел в любом столбце были бы меньше 13?

Нет. Сумма всех записанных чисел равна

\[1+2+\dots+11=\frac{11\cdot12}{2}=66.\]

Если сумма в каждой из 6 строк меньше 13, то, поскольку суммы целые, каждая строка имеет сумму не более 12. Поэтому сумма всех чисел была бы не больше \(6\cdot12=72\), что само по себе не даёт противоречия. Но аналогично столбцы должны иметь суммы не более 12.

Рассмотрим числа \(6,7,8,9,10,11\). Их сумма равна \(51\). В каждой строке может находиться не более одного из этих чисел: два наибольших числа имеют сумму как минимум \(6+7=13\), что нарушило бы условие. Значит, шесть больших чисел должны занимать шесть разных строк. Тогда в каждой строке уже находится одно число не меньше 6, а оставшиеся числа \(1,2,3,4,5\) нужно разместить так, чтобы одновременно все столбцы имели сумму не более 12. В столбце с числом 11 нельзя разместить число больше 1, в столбце с 10 — больше 2 и т. д.; после распределения пяти меньших чисел неизбежно возникает столбец с суммой не менее 13.

Следовательно, требуемой записи не существует.

Ответ: нельзя.