3. АВ и CD – перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что ВС || AD, если АВ = CD.

3. Доказательство:

Дано: AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, AB = CD.

Доказать: BC || AD.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB.

• AB ⊥ BD, CD ⊥ BD (по условию), следовательно, углы ABD и CDB прямые, то есть ∠ABD = ∠CDB = 90°.
• AB = CD (по условию).
• BD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что AD = BC и ∠ADB = ∠DBC.

Так как углы ADB и DBC равны и являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей BD, то AD || BC.

Ответ: BC || AD