АЗ. Упростите выражение $$ \frac{1 - \sin^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha $$

Решение:

Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

• \( 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \)
• \( 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \)
• \( \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 \)

Подставим эти тождества в выражение:

$$ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + 1 = \operatorname{ctg}^2\alpha + 1 $$

Также воспользуемся тождеством \( 1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \).

Ответ: \( \operatorname{ctg}^2\alpha + 1 \) (или \( \frac{1}{\sin^2\alpha} \))