В1. Найдите неизвестную координату точки А, если длина вектора \( \vec{AB} \) равна 5: \( A(-2;y;3); B(-5;0;7) $$.

Решение:

Координаты вектора \( \vec{AB} \) находятся как разность координат точки B и точки A: \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \).

\( \vec{AB} = (-5 - (-2); 0 - y; 7 - 3) = (-5 + 2; -y; 4) = (-3; -y; 4) \).

Длина вектора \( \vec{AB} \) находится по формуле: \( |\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \).

Нам дано, что \( |\vec{AB}| = 5 \). Подставим координаты вектора:

\( 5 = \sqrt{(-3)^2 + (-y)^2 + 4^2} \)

\( 5 = \sqrt{9 + y^2 + 16} \)

\( 5 = \sqrt{25 + y^2} \)

Возведём обе части в квадрат:

\( 5^2 = 25 + y^2 \)

\( 25 = 25 + y^2 \)

\( y^2 = 25 - 25 \)

\( y^2 = 0 \)

\( y = 0 \)

Ответ: 0