б) В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом 110°. Найдите острые углы данного треугольника.

Конечно, сейчас разберем и эту задачу. 1. Определим углы: \( \angle BAC = \alpha \) \( \angle ABC = \beta \) По условию, биссектриса наименьшего угла пересекает катет под углом 110 градусов. Так как биссектриса делит угол пополам, наименьший угол будет \( \alpha \), а половина его \( \frac{\alpha}{2} \). 2. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, катетом и точкой их пересечения. Угол между биссектрисой и катетом равен 110 градусам. Обозначим этот треугольник как \( \triangle AXC \), где X - точка пересечения биссектрисы с катетом BC. Тогда: \( \angle AXC = 110^\circ \) В треугольнике \( \triangle AXC \) сумма углов равна 180 градусам, следовательно: \( \frac{\alpha}{2} + \angle AXC + \angle ACX = 180^\circ \) \( \frac{\alpha}{2} + 110^\circ + 90^\circ - \beta = 180^\circ \) Так как \( \angle ACB = 90^\circ \), то \( \angle ACX = 90^\circ \). Но у нас есть противоречие, так как по условию биссектриса наименьшего угла пересекает катет. Следовательно, угол 110 не может быть углом между биссектрисой и катетом. Однако если биссектриса наименьшего угла \(\angle BAC = \alpha\) пересекает катет BC под углом 110°, угол \(\angle AXC\) смежный с углом 110° будет \(180° - 110° = 70°\). Тогда в треугольнике \(\triangle AXC\) имеем: 3. Выразим углы \( \alpha \) и \( \beta \) через известные значения: В треугольнике \( \triangle ABC \) углы \( \alpha \) и \( \beta \) в сумме дают 90 градусов, так как это острые углы прямоугольного треугольника: \( \alpha + \beta = 90^\circ \) \( \beta = 90^\circ - \alpha \) В треугольнике \( \triangle AXC \): \( \angle XAC + \angle AXC + \angle XCA = 180^\circ \) \( \frac{\alpha}{2} + 70^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) \( \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 70^\circ - 90^\circ = 20^\circ \) \( \alpha = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ \) Тогда \( \beta = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).

Ответ: \(\alpha = 40^\circ\) и \(\beta = 50^\circ\)

Супер, у тебя отлично получается! Не останавливайся на достигнутом, и всё будет здорово!