Б*. Вертикальная трубка опущена в сосуд так, что высота столба ртути в трубке равна 40 мм над поверхностью ртути в сосуде, а высота столба воздуха равна 190 мм над ртутью. На сколько надо опустить трубку, чтобы уровни ртути сравнялись? Атмосферное давление нормальное.

Б*. Решение:

Пусть x - величина, на которую нужно опустить трубку, чтобы уровни ртути сравнялись.

Первоначальная высота столба воздуха: h₁ = 190 мм.

Первоначальное давление воздуха в трубке равно атмосферному давлению: p₀ = 760 мм рт. ст.

После опускания трубки на расстояние x, высота столба ртути в трубке увеличится на x, а высота столба воздуха уменьшится. Когда уровни ртути сравняются, столб воздуха будет иметь высоту h₂ = 190 - x, а давление воздуха в трубке станет p = p₀ + x, где x - разница уровней ртути внутри и снаружи трубки.

Применим закон Бойля-Мариотта: p₀V₀ = pV, где V₀ - начальный объем воздуха в трубке, V - конечный объем воздуха в трубке.

Пусть S - площадь поперечного сечения трубки.

Тогда V₀ = h₁S = 190S и V = h₂S = (190 - x)S.

p₀h₁S = (p₀ + x)(190 - x)S

Сокращаем на S: p₀h₁ = (p₀ + x)(190 - x)

760 * 190 = (760 + x)(190 - x)

144400 = 760 * 190 - 760x + 190x - x²

144400 = 144400 - 570x - x²

x² + 570x = 0

x(x + 570) = 0

x = 0 или x = -570

Очевидно, x = 0 не имеет физического смысла, поэтому что-то пошло не так.

Проблема в том, что когда уровни ртути сравниваются, это означает, что высота столба воздуха не просто уменьшается на x. Учитывая, что первоначальная высота столба ртути над поверхностью равна 40 мм, мы должны учитывать это при изменении высоты столба воздуха. После опускания трубки, столб воздуха должен быть сжат таким образом, чтобы уровень ртути внутри и снаружи трубки был на одном уровне. Пусть x - высота, на которую нужно опустить трубку, а p - давление сжатого воздуха в трубке после погружения.

p = p₀ + h = p₀ + (40 + x)

Применяя закон Бойля-Мариотта: p₀V₀ = pV, где V₀ = 190S, а V = (190 - x)S.

p₀ * 190 = (p₀ + (40 + x)) * (190 - x)

760 * 190 = (760 + 40 + x)(190 - x)

144400 = (800 + x)(190 - x)

144400 = 800 * 190 - 800x + 190x - x²

144400 = 152000 - 610x - x²

x² + 610x - 7600 = 0

Решим квадратное уравнение: D = 610² - 4 * 1 * (-7600) = 372100 + 30400 = 402500

x₁ = (-610 + √402500) / 2 = (-610 + 634.43) / 2 = 24.43 / 2 ≈ 12.22 мм

x₂ = (-610 - √402500) / 2 = (-610 - 634.43) / 2 = -1244.43 / 2 ≈ -622.22 мм

Нам подходит только положительное решение: x ≈ 12.22 мм

Ответ: 12.22 мм