7. Невысокий стеклянный сосуд объемом 1 дм³ наполнен воздухом при давлении 200 мм рт. ст. Какое количество воды войдет в сосуд, если в нем сделать отверстие под водой на глубине 2 м от поверхности? Атмосферное давление 800 мм рт. ст.

7. Дано:

V₁ = 1 дм³ = 0.001 м³

p₁ = 200 мм рт. ст.

h = 2 м (глубина под водой)

p₀ = 800 мм рт. ст. (атмосферное давление)

Найти: Vвода

Решение:

Давление на глубине h под водой:

$$p = p_0 + \rho gh$$

где ρ = 1000 кг/м³ (плотность воды), g = 9.81 м/с² (ускорение свободного падения).

$$p = 800 \text{ мм рт. ст.} + 1000 \text{ кг/м³} \cdot 9.81 \text{ м/с²} \cdot 2 \text{ м}$$

Переведём все в Паскали:

$$800 \text{ мм рт. ст.} = 800 \cdot 133.322 \text{ Па} = 106657.6 \text{ Па}$$

$$\rho gh = 1000 \cdot 9.81 \cdot 2 = 19620 \text{ Па}$$

$$p = 106657.6 + 19620 = 126277.6 \text{ Па}$$

Найдём давление внутри сосуда в мм рт. ст.:

$$p = 126277.6 / 133.322 = 947.05 \text{ мм рт. ст.}$$

Применим закон Бойля-Мариотта: p₁V₁ = p₂V₂

$$p_1V_1 = pV_2$$

$$V_2 = \frac{p_1V_1}{p} = \frac{200 \cdot 1}{947.05} = 0.211 \text{ дм³}$$

Объем воды, вошедшей в сосуд:

$$V_{\text{вода}} = V_1 - V_2 = 1 - 0.211 = 0.789 \text{ дм³}$$

Ответ: 0.789 дм³