5. В узкой трубке, запаянной с одного конца, находится столбик ртути высотой 5 см. Когда трубка расположена вертикально открытым концом вверх, то длина воздушного столбика, запертого ртутью, равна 10 см. Какова будет длина этого воздушного столбика, если трубку расположить открытым концом вниз? Горизонтально? Атмосферное давление нормальное.

5. Дано:

h = 5 см = 0,05 м (высота столбика ртути)

l₁ = 10 см = 0,1 м (длина воздушного столбика, когда трубка открытым концом вверх)

p₀ = 760 мм рт. ст. = 101325 Па (нормальное атмосферное давление)

Найти: l₂ (длина воздушного столбика, когда трубка открытым концом вниз), l₃ (длина воздушного столбика, когда трубка горизонтально)

Решение:

Пусть S – площадь поперечного сечения трубки.

Когда трубка расположена открытым концом вверх, давление воздуха в трубке равно p₁ = p₀ + ρgh, где ρ – плотность ртути, g – ускорение свободного падения.

Когда трубка расположена открытым концом вниз, давление воздуха в трубке равно p₂ = p₀ - ρgh.

Когда трубка расположена горизонтально, давление воздуха в трубке равно p₃ = p₀.

Применим закон Бойля-Мариотта для каждого случая:

Для трубки открытым концом вверх: p₁V₁ = p₀V₀, где V₁ = l₁S и V₀ = l₀S (l₀ – длина воздушного столбика при давлении p₀)

(p₀ + ρgh)l₁S = p₀l₀S

l₀ = (p₀ + ρgh)l₁ / p₀

Для трубки открытым концом вниз: p₂V₂ = p₀V₀, где V₂ = l₂S

(p₀ - ρgh)l₂S = p₀l₀S

l₂ = p₀l₀ / (p₀ - ρgh)

Подставим выражение для l₀:

l₂ = p₀((p₀ + ρgh)l₁ / p₀) / (p₀ - ρgh) = (p₀ + ρgh)l₁ / (p₀ - ρgh)

Преобразуем давление ртутного столба в Паскали: ρgh = 0.05 м * 13600 кг/м³ * 9.81 м/с² ≈ 6673.8 Па

Подставим значения:

l₂ = (101325 + 6673.8) * 0.1 / (101325 - 6673.8) = 10799.88 / 94651.2 = 0.1141 м = 11.41 см

Для горизонтального расположения трубки: p₃V₃ = p₀V₀, где V₃ = l₃S

p₀l₃S = p₀l₀S

l₃ = l₀ = (p₀ + ρgh)l₁ / p₀ = (101325 + 6673.8) * 0.1 / 101325 = 10799.88 / 101325 = 0.1066 м = 10.66 см

Ответ: При открытом конце вниз длина столбика 11.41 см, при горизонтальном расположении 10.66 см