B1. \(MM_1 \parallel BB_1\), \(MM_1:BB_1=2:3\). а) Доказать, что точки \(A\), \(M_1\) и \(B_1\) лежат на одной прямой. б) Найти \(AB\). На рисунке \(MB=6\).

а) По рисунку точки \(A,M,B\) лежат на одной прямой, а точки \(A,M_1,B_1\) — на другой. Так как \(MM_1 \parallel BB_1\), по теореме о пропорциональных отрезках прямая, проходящая через \(M\) параллельно \(BB_1\), пересекает прямую \(AB_1\) в точке \(M_1\). Следовательно, точки \(A,M_1,B_1\) лежат на одной прямой.

б) Треугольники \(AMM_1\) и \(ABB_1\) подобны, поэтому \(AM:AB=MM_1:BB_1=2:3\). Значит, \(MB=AB-AM=\frac{1}{3}AB\). Тогда \(AB=3\cdot MB=3\cdot6=18\).

Ответ: \(AB=18\).