B2. \(CC_1 \parallel BB_1\). а) Доказать, что точки \(A\), \(C_1\) и \(B_1\) лежат на одной прямой. б) Найти \(BB_1\). На рисунке \(CC_1=7\).

а) По рисунку точки \(A,C,B\) лежат на одной прямой, а \(A,B_1\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Прямые \(CB\) и \(BB_1\) пересекаются и задают плоскость \((CBB_1)\). Поскольку \(CC_1\parallel BB_1\), прямая \(CC_1\) лежит в этой плоскости, значит, в ней лежит и точка \(C_1\). Плоскости \((CBB_1)\) и \(\alpha\) имеют общие точки \(A\) и \(B_1\), поэтому пересекаются по прямой \(AB_1\). Следовательно, \(C_1\in AB_1\), то есть точки \(A,C_1,B_1\) коллинеарны.

б) Найти численное значение \(BB_1\) по имеющимся данным нельзя. Из подобия треугольников \(ACC_1\) и \(ABB_1\) следует \(CC_1:BB_1=AC:AB\), поэтому \(BB_1=7\cdot AB/AC\). Отношение \(AB:AC\) в условии не задано.

Ответ: численное значение \(BB_1\) определить нельзя — не хватает отношения \(AB:AC\) или других данных о длинах.