B1. MM₁ ∥ BB₁, MM₁ : BB₁ = 2 : 3. а) Доказать, что точки A, M₁ и B₁ лежат на одной прямой. б) Найти AB.

Данных недостаточно, чтобы доказать пункт а). Из условий известны положение M на прямой AB и отношение длин параллельных отрезков MM₁ и BB₁, но не задано соотношение, которое обеспечило бы коллинеарность A, M₁ и B₁.

Например, можно взять A = (0; 0), M = (2; 0), B = (8; 0), M₁ = (2; 2), B₁ = (8; 3). Тогда MB = 6, MM₁ ∥ BB₁ и MM₁ : BB₁ = 2 : 3, но точки A, M₁ и B₁ не лежат на одной прямой.

Если в условии подразумевалась коллинеарность A, M₁, B₁, то по подобию треугольников AMM₁ и ABB₁ получаем AM : AB = MM₁ : BB₁ = 2 : 3. Тогда MB = AB − AM = AB/3 = 6, откуда AB = 18.

Ответ: пункт а) из указанных условий не следует; при дополнительном условии A, M₁, B₁ коллинеарны AB = 18.