B1. Мотоциклист едет первую половину пути со скоростью 90 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость мотоцикла на всем пути.

Задание B1. Средняя скорость

Дано:

• Скорость на первой половине пути: \( v_1 = 90 \) км/ч
• Скорость на второй половине пути: \( v_2 = 70 \) км/ч
• Путь пройден за две равные половины.

Найти: Среднюю скорость \( v_{ср} \).

Решение:

Средняя скорость находится как отношение всего пройденного пути ко всему времени в пути:

$$ v_{ср} = \frac{S_{\text{полный}}}{t_{\text{полное}}} $$

Пусть весь путь равен \( S \). Тогда первая половина пути \( S_1 = S/2 \) и вторая половина \( S_2 = S/2 \).

Время на первой половине пути:

$$ t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{90} = \frac{S}{180} \ \text{(ч)} $$

Время на второй половине пути:

$$ t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{70} = \frac{S}{140} \ \text{(ч)} $$

Общее время в пути:

$$ t_{\text{полное}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{180} + \frac{S}{140} $$

Приведем дроби к общему знаменателю (НОК(180, 140) = 1260):

$$ t_{\text{полное}} = \frac{7S}{1260} + \frac{9S}{1260} = \frac{16S}{1260} \ \text{(ч)} $$

Теперь найдем среднюю скорость:

$$ v_{ср} = \frac{S}{t_{\text{полное}}} = \frac{S}{\frac{16S}{1260}} = \frac{1260S}{16S} $$

Сократим \( S \):

$$ v_{ср} = \frac{1260}{16} = 78.75 \ \text{км/ч} $$

Ответ: Средняя скорость мотоциклиста на всем пути составляет 78.75 км/ч.