B1. В параллелограмме \(ABCD\) дано: \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), \(AD:DC=2:3\), \(E\in AD\), \(AE:ED=2:3\), \(F\in CD\), \(DF:CF=1:2\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b\), а \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec a\).

Из отношения \(AE:ED=2:3\) следует \(\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\vec b\).

Так как \(DF:CF=1:2\), точка \(F\) делит \(DC\) в отношении 1:2 от точки \(D\), поэтому \(\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\vec a\).

Тогда \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=-\frac{2}{5}\vec b+\vec b+\frac{1}{3}\vec a=\frac{1}{3}\vec a+\frac{3}{5}\vec b.\)

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\vec a+\frac{3}{5}\vec b\).