B1. В параллелограмме \(ABCD\) дано: \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{BC}=\vec b\), \(E\in AD\), \(AE:ED=2:3\), \(F\in CD\), \(DF:CF=1:2\). Выразите вектор \(\overrightarrow{EF}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

Положим начало в точке \(A\). Тогда \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), поэтому \(\overrightarrow{AE}=\frac25\vec b\).

Так как \(DF:CF=1:2\), точка \(F\) делит \(DC\) в отношении \(1:2\) от \(D\) к \(C\). При этом \(\overrightarrow{DC}=\vec a\), значит \(\overrightarrow{DF}=\frac13\vec a\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\vec b+\frac13\vec a\). Вычитаем радиус-вектор точки \(E\):

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\frac13\vec a+\frac35\vec b.\)

Ответ: \(\overrightarrow{EF}=\frac13\vec a+\frac35\vec b\).