B10. Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен \(3\sqrt6\). Тупой угол равнобедренной трапеции равен 120°. Найдите значение выражения \(2\sqrt2\cdot P\), где \(P\) — периметр равнобедренной трапеции.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: \(h=2r=6\sqrt6\).

Острый угол трапеции равен \(60°\). Если длина боковой стороны равна \(c\), то \(c\sin60°=h\), поэтому \(c=6\sqrt6/(\sqrt3/2)=12\sqrt2\).

Для четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Поэтому сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(24\sqrt2\). Периметр \(P=24\sqrt2+24\sqrt2=48\sqrt2\).

Тогда \(2\sqrt2\cdot P=2\sqrt2\cdot48\sqrt2=192\).

Ответ: 192