B10. В равнобедренном треугольнике KMN проведена высота MH к основанию KN. Известно, что длина высоты MH равна длине отрезка HP, где P — середина боковой стороны MN. Найдите значение выражения S², где S — площадь треугольника KMN, если KN = 6√6.

Пусть H=(0,0), K=(-3√6,0), N=(3√6,0), а M=(0,h), поскольку высота равнобедренного треугольника к основанию делит основание пополам. Тогда P — середина MN, то есть P=(3√6/2,h/2).

Из условия MH=HP следует \(h=\sqrt{(3\sqrt6/2)^2+(h/2)^2}\). Возведём в квадрат: \(h^2=54/4+h^2/4\), откуда \(3h^2/4=27/2\) и \(h^2=18\). Следовательно, h=3√2.

Площадь \(S=\frac12\cdot KN\cdot MH=\frac12\cdot6\sqrt6\cdot3\sqrt2=18\sqrt3\). Поэтому \(S^2=(18\sqrt3)^2=972\).

Ответ: 972.