B2. Докажите, что медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \). AB = BC (боковые стороны). Проведём медианы \( BM \) к стороне \( AC \) и \( BN \) к стороне \( AC \). Ой, медианы должны быть проведены к боковым сторонам. Проведём медианы \( AM_1 \) к боковой стороне \( BC \) и \( CM_2 \) к боковой стороне \( AB \).

Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( AM_1 \) — медиана к \( BC \), \( CM_2 \) — медиана к \( AB \).

Доказать: \( AM_1 = CM_2 \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABM_1 \) и \( \triangle CBM_2 \).


2. По условию \( AB = CB \) (боковые стороны равнобедренного треугольника).


3. По условию \( AM_1 \) и \( CM_2 \) — медианы. Следовательно, \( M_1 \) — середина \( BC \), значит \( BM_1 = \frac{1}{2} BC \). А \( M_2 \) — середина \( AB \), значит \( BM_2 = \frac{1}{2} AB \).


4. Так как \( AB = BC \), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC \), следовательно, \( BM_2 = BM_1 \).


5. Углы \( \angle B \) в \( \triangle ABM_1 \) и \( \triangle CBM_2 \) — общий угол.


6. По двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников), \( \triangle ABM_1 = \triangle CBM_2 \).


7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AM_1 = CM_2 \).

Что и требовалось доказать.