B3. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах А и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если угол В равен β.

Решение:

Пусть \( \angle B = \beta \).

Сумма углов треугольника \( \triangle ABC \) равна 180°: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \), т.е. \( \angle A + \angle C = 180^\circ - \beta \).

Пусть \( AO \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( A \), а \( CO \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( C \).

Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 180^\circ - \angle A \). Биссектриса \( AO \) делит его пополам, поэтому \( \angle OAC_{внешн} = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2} \).

Внешний угол при вершине \( C \) равен \( 180^\circ - \angle C \). Биссектриса \( CO \) делит его пополам, поэтому \( \angle OCA_{внешн} = \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 90^\circ - \frac{\angle C}{2} \).

Рассмотрим \( \triangle AOC \). Сумма углов в \( \triangle AOC \) равна 180°: \( \angle AOC + \angle OAC_{внешн} + \angle OCA_{внешн} = 180^\circ \).

Подставим выражения для углов:

\[ \angle AOC + (90^\circ - \frac{\angle A}{2}) + (90^\circ - \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ \]

\[ \angle AOC + 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2} = 180^\circ \]

\[ \angle AOC = \frac{\angle A + \angle C}{2} \]

Мы знаем, что \( \angle A + \angle C = 180^\circ - \beta \).

Подставим это значение:

\[ \angle AOC = \frac{180^\circ - \beta}{2} \]

\[ \angle AOC = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \]

Ответ: \( 90^\circ - \frac{\beta}{2} \)