B2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. (2 балла)

Решение:

Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат.

1. Находим высоту пирамиды (h):
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (l), высотой пирамиды (h) и радиусом описанной окружности основания (R). Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
   • \[ \cos(60^°) = \frac{R}{l} \]
   • \[ R = l \cos(60^°) = 12 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]
   • Теперь найдем высоту пирамиды: \[ \sin(60^°) = \frac{h}{l} \]
   • \[ h = l \sin(60^°) = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]
2. Находим сторону основания пирамиды (a):
   • Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали: \[ R = \frac{d}{2} \]
   • \[ 6 \text{ см} = \frac{d}{2} \]
   • \[ d = 12 \text{ см} \]
   • Диагональ квадрата связана со стороной формулой: \( d = a\sqrt{2} \). \[ 12 \text{ см} = a\sqrt{2} \]
   • \[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \]
3. Находим площадь основания пирамиды:
   • \[ S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2} \text{ см})^2 = 36 \cdot 2 \text{ см}^2 = 72 \text{ см}^2 \]
4. Находим объём пирамиды:
   • \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h \]
   • \[ V = \frac{1}{3} \cdot 72 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} \]
   • \[ V = 24 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} = 144\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: 144√3 см³