B2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 24 см, а боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 24 \) см и \( b = 10 \) см, а боковая сторона \( c = 25 \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Чтобы найти высоту, проведем из вершин меньшего основания \( b \) две высоты к большему основанию \( a \). Эти высоты разделят большее основание на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию, а два крайних отрезка равны между собой.

Длина каждого крайнего отрезка равна:

\[ x = \frac{a - b}{2} = \frac{24 - 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной трапеции \( c \), высотой \( h \) и одним из крайних отрезков \( x \).

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = h^2 + x^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 25^2 = h^2 + 7^2 \]

625 = h^2 + 49

Вычислим \( h^2 \):

\[ h^2 = 625 - 49 = 576 \]

Найдем высоту \( h \):

\[ h = \sqrt{576} = 24 \] см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

\[ S = \frac{24 + 10}{2} \cdot 24 = \frac{34}{2} \cdot 24 = 17 \cdot 24 \]

Вычислим произведение:

\[ 17 \cdot 24 = 17 \cdot (20 + 4) = 17 \cdot 20 + 17 \cdot 4 = 340 + 68 = 408 \] см².

Ответ: 408 см².