Б2. Прямоугольная трапеция с основаниями 9 см и 17 см и площадью 78 см² вращается вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности вращения.

Решение:

Площадь поверхности вращения состоит из площади боковой поверхности цилиндра, образованного большим основанием, и площади боковой поверхности усечённого конуса, образованного боковой стороной трапеции.

Пусть \( a = 9 \) см (меньшее основание), \( b = 17 \) см (большее основание), \( S = 78 \) см² (площадь трапеции).

Площадь трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} h \). Найдем высоту \( h \) (которая будет радиусом вращения):

\[ 78 = \frac{9+17}{2} h \]\[ 78 = \frac{26}{2} h \]\[ 78 = 13 h \]\[ h = \frac{78}{13} = 6 \] см.

При вращении вокруг большего основания \( b = 17 \) см:

1. Боковая поверхность цилиндра: \( S_{цил} = 2 \pi r H \), где \( r = h = 6 \) см, \( H = b = 17 \) см.
\[ S_{цил} = 2 \pi \cdot 6 \cdot 17 = 204 \pi \] см².
2. Боковая поверхность усечённого конуса: \( S_{усеч. конуса} = \pi (r_1 + r_2) l \), где \( r_1 = a = 9 \) см, \( r_2 = b = 17 \) см, \( l \) — образующая.



Найдем образующую \( l \) как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \( h = 6 \) см и \( b-a = 17-9 = 8 \) см.

\[ l = \sqrt{h^2 + (b-a)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] см.
\[ S_{усеч. конуса} = \pi (9 + 17) \cdot 10 = \pi \cdot 26 \cdot 10 = 260 \pi \] см².
3. Полная площадь поверхности вращения: \( S_{полн} = S_{цил} + S_{усеч. конуса} \).
\[ S_{полн} = 204 \pi + 260 \pi = 464 \pi \] см².

Ответ: \( 464 \pi \) см².