Б2. В треугольнике ABC: AB = 7, AC = 8, ∠A = 60°. а) Найдите сторону BC по теореме косинусов. б) Найдите площадь треугольника через синус угла. в) Найдите радиус вписанной окружности, используя формулу r = S/p.

а) Найдём сторону BC по теореме косинусов.

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A\).

\(BC^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cdot\cos60^\circ=49+64-56=57\), поэтому \(BC=\sqrt{57}\).

б) Найдём площадь.

\(S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\dfrac12\cdot7\cdot8\cdot\sin60^\circ=28\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=14\sqrt3\).

в) Найдём радиус вписанной окружности.

Полупериметр \(p=\dfrac{7+8+\sqrt{57}}{2}=\dfrac{15+\sqrt{57}}{2}\). Тогда

\(r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{14\sqrt3}{(15+\sqrt{57})/2}=\dfrac{28\sqrt3}{15+\sqrt{57}}\).

Ответ: а) \(\sqrt{57}\); б) \(14\sqrt3\); в) \(\dfrac{28\sqrt3}{15+\sqrt{57}}\).