B3. Найдите корень уравнения \( \frac{x+8}{4} - \frac{x^2-2}{5} = 2 \).

Решение:

Чтобы решить уравнение, сначала найдем общий знаменатель для дробей, который равен \( 4 \cdot 5 = 20 \).

Умножим обе части уравнения на 20:

\( 20 \cdot \left( \frac{x+8}{4} - \frac{x^2-2}{5} \right) = 20 \cdot 2 \)

\( 20 \cdot \frac{x+8}{4} - 20 \cdot \frac{x^2-2}{5} = 40 \)

\( 5(x+8) - 4(x^2-2) = 40 \)

Раскроем скобки:

\( 5x + 40 - 4x^2 + 8 = 40 \)

Приведем подобные слагаемые:

\( -4x^2 + 5x + 48 = 40 \)

Перенесем 40 в левую часть:

\( -4x^2 + 5x + 48 - 40 = 0 \)

\( -4x^2 + 5x + 8 = 0 \)

Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным:

\( 4x^2 - 5x - 8 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 25 + 128 = 153 \)

Так как \( D > 0 \) и \( \sqrt{153} \) не является целым числом, возможно, в условии была ошибка или ожидается ответ с корнем.

Если предположить, что в условии была опечатка и уравнение должно быть проще, например:

\( \frac{x+8}{4} - \frac{x-2}{5} = 2 \)

Тогда:

\( 5(x+8) - 4(x-2) = 40 \)

\( 5x + 40 - 4x + 8 = 40 \)

\( x + 48 = 40 \)

\( x = 40 - 48 = -8 \)

Ответ: -8