B3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медианы пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если OA = 13 см, OB = 10 см.

Пусть \(M\) — середина основания \(AC\), а \(N\) — середина стороны \(AB\). В равнобедренном треугольнике медиана \(BM\) является также высотой, поэтому \(BM\perp AC\).

Центр тяжести делит медиану в отношении \(2:1\):

\(OM=\frac{OB}{2}=5\) см, \(AM=AO+OM=13+5=18\) см.

Следовательно, \(AC=2AM=36\) см, а \(BM=\frac{3}{2}OB=15\) см.

Площадь:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot36\cdot15=270\) см².

Ответ: 270 см².