B5. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что: a) ∠CBD = ∠DEC; б) BD и CE делятся точкой пересечения пополам.

a) Рассмотрим треугольники ABD и ACE. У них AB = AE, AC = AD, и ∠A общий. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠ABD = ∠ACE и ∠ADB = ∠AEC. Так как AC = AD и AB = AE, то BC = AC - AB = AD - AE = DE. Теперь рассмотрим треугольники CBD и DEC. У них BC = DE, ∠ADB = ∠AEC, ∠ABD = ∠ACE. Следовательно, эти треугольники равны, и ∠CBD = ∠DEC. б) Пусть точка пересечения BD и CE будет O. Рассмотрим треугольники BOC и DOE. У них BC = DE, ∠OBC = ∠ODE и ∠OCB = ∠OED. Следовательно, треугольники равны, и BO = DO и CO = EO. Значит, точка O делит BD и CE пополам.