B6. Дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = AD, BC = CD. На его диагонали AC взяли произвольную точку K. Докажите, что: a) BK = DK; б) ∠BKC = ∠DKC.

a) Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них AB = AD, BC = DC, и AC общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Значит, ∠BAC = ∠DAC. Теперь рассмотрим треугольники ABK и ADK. У них AB = AD, AK общая сторона, и ∠BAK = ∠DAK. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, BK = DK. б) Так как BK = DK, то треугольник BKD равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠KBK = ∠KDK. Поскольку ∠ABC = ∠ADC (из равенства треугольников ABC и ADC), то ∠KBC = ∠KDC. Теперь рассмотрим треугольники BKC и DKC. У них BC = DC, KC общая сторона, и BK = DK. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Значит, ∠BKC = ∠DKC.