B7. а) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что ΔBPC = ΔB₁P₁C₁. б) В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP : PC = A₁P₁ : P₁C₁. Докажите, что ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.

a) Так как AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и ∠A = ∠A₁, то треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, BC = B₁C₁. Так как AP = A₁P₁, то PB = AB - AP = A₁B₁ - A₁P₁ = P₁B₁. Теперь рассмотрим треугольники BPC и B₁P₁C₁. У них BP = B₁P₁, BC = B₁C₁, и PC = AC - AP = A₁C₁ - A₁P₁ = P₁C₁. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. б) Так как AP/PC = A₁P₁/P₁C₁, то PC/AP = P₁C₁/A₁P₁. Добавим 1 к обеим частям равенства: PC/AP + 1 = P₁C₁/A₁P₁ + 1. Получаем (PC + AP)/AP = (P₁C₁ + A₁P₁)/A₁P₁, то есть AC/AP = A₁C₁/A₁P₁. Из равенства AC/AP = A₁C₁/A₁P₁ следует, что AP/AC = A₁P₁/A₁C₁. Умножим обе части на AB/A₁B₁ = 1, получим AP/AB = A₁P₁/A₁B₁. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. У них ∠A = ∠A₁, AP/AB = A₁P₁/A₁B₁, и AC = A₁C₁. Так как AP/AB = A₁P₁/A₁B₁, то ΔAPC ~ ΔA₁P₁C₁. А если треугольники подобны, то ∠APC = ∠A₁P₁C₁ и ∠ACP = ∠A₁C₁P₁. По аналогии можно доказать, что ∠ABC = ∠A₁B₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.