5 BA ABC AB=BC=10 Cel. Sin A =. Hargume AC и SABC.

5. Дано: треугольник ABC, AB = BC = 10 см, sin A = 2/3.

Найти: AC и S_ABC.

Решение:

Проведем высоту BH к стороне AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота BH является и медианой, то есть AH = HC = AC/2.

Синус угла A равен отношению противолежащего катета BH к гипотенузе AB:

\(\sin A = \frac{BH}{AB}\), следовательно \(BH = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{3}\) см.

По теореме Пифагора для треугольника ABH:

\(AB^2 = AH^2 + BH^2\), следовательно \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - (\frac{20}{3})^2} = \sqrt{100 - \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{900-400}{9}} = \sqrt{\frac{500}{9}} = \frac{10\sqrt{5}}{3}\) см.

Тогда \(AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{10\sqrt{5}}{3} = \frac{20\sqrt{5}}{3} \approx 14,91\) см.

Площадь треугольника ABC равна:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{200\sqrt{5}}{9} \approx 49,69\) см².

Ответ: AC ≈ 14,91 см; S_ABC ≈ 49,69 см²