6. (3 балла) На одной стороне угла с вершиной С отмечены точки М и А, на другой стороне — В и К так, что СМ = СВ = 5 см, CACK = 7 см. 1) Докажите, что АВ = МК. 2) Докажите, что AD = KD, где D — точка пересечения АВ и МК.

1) Докажем, что AB = MK

1. Рассмотрим треугольники ABC и MKC.
2. По условию CA = CK = 7 см, CB = CM = 5 см.
3. Угол C общий для обоих треугольников.
4. Тогда, треугольники ABC и MKC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).
5. Из подобия следует, что стороны AB и MK пропорциональны, а так как коэффициенты пропорциональности сторон CA и CK, CB и CM равны, то AB = MK.

2) Докажем, что AD = KD, где D — точка пересечения АВ и МК.

1. Из подобия треугольников следует равенство углов: ∠CAB = ∠CKM и ∠CBA = ∠CMK.
2. Рассмотрим треугольники ACD и KCD.
3. Угол CAD = углу CKM, угол CDA = углу CDK как смежные с равными углами.
4. Так как AC = CK, то треугольники ACD и KCD равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
5. Следовательно, AD = KD.

Ответ: 1) АВ = МК, 2) AD = KD