22. (3 балла) Найти решение уравнения: 5ctg²x-8ctgx+3=0.

Пусть ctgx = t. Тогда уравнение примет вид:

$$5t^2 - 8t + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$$ $$t_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$t_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Вернемся к ctgx:

$$ctg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$ctg x = \frac{3}{5} \implies x = \arctan(\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \arctan(\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$