19) (2 балла) Решите неравенство: \((\frac{1}{5})^{x^2+3x} \leq 25\).

Пошаговое решение:

1. Преобразуем обе части неравенства к степени числа 5:

\( (\frac{1}{5})^{x^2+3x} \leq 25 \)

\( (5^{-1})^{x^2+3x} \leq 5^2 \)

\( 5^{-x^2-3x} \leq 5^2 \)

2. Так как основание степени больше 1, то можно опустить основание и изменить знак неравенства:

\( -x^2 - 3x \leq 2 \)

\( x^2 + 3x + 2 \geq 0 \)

3. Решим квадратное уравнение:

\( x^2 + 3x + 2 = 0 \)

\( (x+1)(x+2) = 0 \)

Корни: \( x = -1 \) и \( x = -2 \)

4. Определим знаки квадратного выражения на интервалах:
   • \( x < -2 \): \( (-3)^2 + 3(-3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \)
   • \( -2 < x < -1 \): \( (-1,5)^2 + 3(-1,5) + 2 = 2,25 - 4,5 + 2 = -0,25 < 0 \)
   • \( x > -1 \): \( (0)^2 + 3(0) + 2 = 2 > 0 \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty) \)