Билет 10. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей а) соответственные углы равны, б) сумма односторонних равна 180°.

Доказательство свойств углов при пересечении параллельных прямых секущей:

а) Соответственные углы равны

Дано: Прямые \( a \) и \( b \) параллельны (\( a ​ || ​ b \)), секущая \( c \) пересекает их. Углы 1 и 2 — соответственные.

Доказательство:

1. Рассмотрим углы, образованные секущей \( c \) и прямой \( a \).
2. Угол, вертикальный к углу 1, равен углу 1.
3. Этот угол и угол 2 являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \).
4. По свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых, они равны.
5. Следовательно, угол 1 равен углу 2.

б) Сумма односторонних углов равна 180°

Дано: Прямые \( a \) и \( b \) параллельны (\( a ​ || ​ b \)), секущая \( c \) пересекает их. Углы 3 и 4 — односторонние.

Доказательство:

1. Рассмотрим угол 5, который является смежным с углом 3. Сумма смежных углов равна 180° (\( ⌢ 3 + ⌢ 5 = 180^​ \)).
2. Угол 5 и угол 4 являются соответственными углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей \( c \).
3. По свойству соответственных углов при параллельных прямых, они равны (\( ⌢ 5 = ⌢ 4 \)).
4. Подставим \( ⌢ 4 \) вместо \( ⌢ 5 \) в первое равенство: \( ⌢ 3 + ⌢ 4 = 180^​ \).
5. Следовательно, сумма односторонних углов равна 180°.