Билет 11. 4) Высоты остроугольного ДМРТ, проведенные из вершин N и P, пересекаются в точке K, ∠T=56°. Найдите ∠ NKP.

Решение:

Дано: \( △ NPT \) — остроугольный. \( NK_1 \) и \( PK_2 \) — высоты, \( K \) — точка их пересечения. \( ⌢ T = 56^​ \).

Найти: \( ⌢ NKP \).

1. Обозначим точки пересечения высот: пусть высота из \( N \) пересекает \( PT \) в точке \( K_1 \), а высота из \( P \) пересекает \( NT \) в точке \( K_2 \). Таким образом, \( NK_1 ​ ⊥ ​ PT \) и \( PK_2 ​ ⊥ ​ NT \).
2. Рассмотрим четырёхугольник \( K K_1 T K_2 \).
3. В этом четырёхугольнике \( ⌢ NK_1 T = 90^​ \) и \( ⌢ PK_2 T = 90^​ \), так как это прямые углы при основании высот.
4. Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^​ \).
5. В четырёхугольнике \( K K_1 T K_2 \): \( ⌢ K K_1 T + ⌢ K_1 T K + ⌢ T K_2 K_1 + ⌢ K_2 K K_1 = 360^​ \).
6. Подставляем известные значения: \( 90^​ + 56^​ + 90^​ + ⌢ NKP = 360^​ \).
7. \( 236^​ + ⌢ NKP = 360^​ \).
8. \( ⌢ NKP = 360^​ - 236^​ = 124^​ \).

Ответ: ∠ NKP = 124°.