Билет 11. 2. Доказать свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Доказательство свойства углов при основании равнобедренного треугольника:

Свойство: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Дано: \( △ ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \), то есть \( AB = BC \).

Доказать: \( ⌢ BAC = ⌢ BCA \).

1. Проведём биссектрису \( BD \) к основанию \( AC \). (В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой).
2. Рассмотрим два треугольника: \( △ ABD \) и \( △ CBD \).
3. По условию, \( AB = BC \) (боковые стороны равнобедренного треугольника).
4. По построению, \( ⌢ ABD = ⌢ CBD \) (так как \( BD \) — биссектриса).
5. \( BD \) — общая сторона для обоих треугольников.
6. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( △ ABD = △ CBD \).
7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( ⌢ BAC = ⌢ BCA \).

Что и требовалось доказать.