Билет 3, задача 4: Углы треугольника АВС относятся как ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

**1. Найдем углы треугольника:** Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно: x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30° Таким образом, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. **2. Определим тип треугольника:** Так как ∠C = 90°, треугольник ABC прямоугольный. **3. Рассмотрим треугольник ABM:** BM - биссектриса угла B, поэтому ∠ABM = ∠CBM = ∠B/2 = 60°/2 = 30°. **4. Рассмотрим треугольник BCM:** В треугольнике BCM: ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Следовательно, ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°. **5. Найдем MC:** В прямоугольном треугольнике ABC, катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы, то есть AM = BM. По условию BM = 6, значит AM = 6 Треугольник BMC: угол MBC = 30 градусов, угол С = 90 градусов, значит MB = 6 является гипотенузой, а MC – катет, лежащий против угла в 30 градусов. Значит MC = 1/2 * BM = 1/2 * 6 = 3 **Ответ:** MC = 3.