Билет 4. 1. Дайте определение параллельных прямых. Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. 2. Доказать второй признак равенства треугольников. 3. Задача на тему «Геометрические построения».

Билет 4.

1. Параллельные прямые — это две прямые на плоскости, которые не пересекаются.
   При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие пары углов:
   1. Накрест лежащие углы (например, \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \), \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \), где \( \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 \) — углы, образующиеся между секущей и одной из параллельных прямых, и другие углы).
   2. Соответственные углы (например, \( \angle 1 \) и \( \angle 5 \), \( \angle 2 \) и \( \angle 6 \), \( \angle 3 \) и \( \angle 7 \), \( \angle 4 \) и \( \angle 8 \), где \( 1, 2, 3, 4 \) — углы над одной параллельной прямой, а \( 5, 6, 7, 8 \) — соответственно под другой).
   3. Односторонние углы (например, \( \angle 1 \) и \( \angle 6 \), \( \angle 2 \) и \( \angle 5 \), где \( \angle 1, \angle 2 \) — углы над одной параллельной прямой, а \( \angle 5, \angle 6 \) — соответственно под другой).
2. Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   Доказательство:
   Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \), у которых \( AC = A_1C_1 \), \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle C = \angle C_1 \).
   Наложим \( \triangle ABC \) на \( \triangle A_1B_1C_1 \) так, чтобы сторона \( AC \) совпала со стороной \( A_1C_1 \), а вершина \( A \) — с вершиной \( A_1 \).
   Так как \( \angle A = \angle A_1 \), то луч \( AB \) совпадёт с лучом \( A_1B_1 \).
   Так как \( \angle C = \angle C_1 \), то луч \( CB \) совпадёт с лучом \( C_1B_1 \).
   Точка \( B \) лежит на пересечении лучей \( AB \) и \( CB \). Точка \( B_1 \) лежит на пересечении лучей \( A_1B_1 \) и \( C_1B_1 \).
   Следовательно, точка \( B \) совпадёт с точкой \( B_1 \).
   Таким образом, \( \triangle ABC \) полностью совпадает с \( \triangle A_1B_1C_1 \), а значит, эти треугольники равны.
3. Задача на тему «Геометрические построения» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.