Билет 6. 1. Какие утверждения называются аксиомами? Приведите пример аксиом. Сформулируйте аксиому о параллельности прямых. 2. Докажите теорему о свойстве углов равнобедренного треугольника. 3. Задача на тему «Смежные и вертикальные углы».

Билет 6.

1. Аксиомы (или постулаты) — это утверждения, которые принимаются истинными без доказательств. Они служат основой для построения всей теории.
   Примеры аксиом:
   1. Через любые две точки проходит прямая, и только одна.
   2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и только одна.
   Аксиома параллельности прямых (аксиома Евклида): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной.
2. Теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   Доказательство:
   Пусть дан равнобедренный \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) (то есть \( AB = BC \)). Нужно доказать, что \( \angle BAC = \angle BCA \).
   Проведем биссектрису \( BD \) угла \( \angle ABC \).
   Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBD \).
   1. \( AB = CB \) (по условию, так как \( \triangle ABC \) равнобедренный).
   2. \( \angle ABD = \angle CBD \) (по построению, так как \( BD \) — биссектриса).
   3. \( BD \) — общая сторона.
   Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBD \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
   Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( \angle BAD = \angle BCD \) (что и требовалось доказать).
3. Задача на тему «Смежные и вертикальные углы» — решение этой задачи не приведено, так как она требует индивидуального подхода и конкретных числовых данных, не представленных в условии.